SECTION 1 ： 記 事
SECTION 2 ： 難しそうな数式
変数 \( t \) を時間（時刻）とし，
ベクトル
\(
\boldsymbol{a} \left( t \right) \boldsymbol{,} \
\boldsymbol{v} \left( t \right) \boldsymbol{,} \
\boldsymbol{x} \left( t \right)
\)
をそれぞれ，時刻 \( t \) における加速度，速度，位置とする。
このとき，
\begin{equation*}
\dfrac{d \boldsymbol{v}}{dt} \left( t \right)
=
\boldsymbol{a} \left( t \right) \, \boldsymbol{,}
\hspace{1cm}
\dfrac{d \boldsymbol{x}}{dt} \left( t \right)
=
\boldsymbol{v} \left( t \right)
\end{equation*}
であるので，
\( t_{0} \) を初期時刻とすると，
\begin{align*}
&
\boldsymbol{v} \left( t \right) - \boldsymbol{v} \left( t_{0} \right)
=
\int_{t_{0}}^{t} \dfrac{d \boldsymbol{v}}{ds} \left( s \right) \, ds
=
\int_{t_{0}}^{t} \boldsymbol{a} \left( s \right) \, ds \, \boldsymbol{,}
\\[10pt]
&
\boldsymbol{x} \left( t \right) - \boldsymbol{x} \left( t_{0} \right)
=
\int_{t_{0}}^{t} \dfrac{d \boldsymbol{x}}{d \tau} \left( \tau \right) \, d \tau
=
\int_{t_{0}}^{t} \boldsymbol{v} \left( \tau \right) \, d \tau \, \boldsymbol{.}
\end{align*}
ゆえに，
\(
\boldsymbol{v}_{0} = \boldsymbol{v} \left( t_{0} \right) \boldsymbol{,} \ \
\boldsymbol{x}_{0} = \boldsymbol{x} \left( t_{0} \right)
\)
と置くと，
\begin{align*}
&
\boldsymbol{v} \left( t \right)
=
\boldsymbol{v}_{0}
+
\int_{t_{0}}^{t} \boldsymbol{a} \left( s \right) \, ds \, \boldsymbol{,}
\\[10pt]
&
\begin{aligned}
\boldsymbol{x} \left( t \right)
&=
\boldsymbol{x}_{0}
+
\int_{t_{0}}^{t} \boldsymbol{v} \left( \tau \right) \, d \tau
=
\boldsymbol{x}_{0}
+
\int_{t_{0}}^{t}
\left\{ \boldsymbol{v}_{0} + \int_{t_{0}}^{\tau} \boldsymbol{a} \left( s \right) \, ds \right\}
\, d \tau
\\[5pt]
&=
\boldsymbol{x}_{0}
+
\left( t - t_{0} \right) \boldsymbol{v}_{0}
+
\int_{t_{0}}^{t} d \tau
\int_{t_{0}}^{\tau} \boldsymbol{a} \left( s \right) \, ds \, \boldsymbol{.}
\end{aligned}
\end{align*}
このことから，
\( \boldsymbol{a} \left( t \right) \) が定ベクトル
\( \boldsymbol{a}_{0} \) に等しいとき，
\begin{align*}
&
\boldsymbol{v} \left( t \right)
=
\boldsymbol{v}_{0}
+
\int_{t_{0}}^{t} \boldsymbol{a}_{0} \, ds
=
\boldsymbol{v}_{0}
+
\left( t - t_{0} \right) \boldsymbol{a}_{0} \, \boldsymbol{,}
\\[10pt]
&
\begin{aligned}
\boldsymbol{x} \left( t \right)
&=
\boldsymbol{x}_{0}
+
\left( t - t_{0} \right) \boldsymbol{v}_{0}
+
\int_{t_{0}}^{t} d \tau
\int_{t_{0}}^{\tau} \boldsymbol{a}_{0} \, ds
\\[5pt]
&=
\boldsymbol{x}_{0}
+
\left( t - t_{0} \right) \boldsymbol{v}_{0}
+
\left\{
\int_{t_{0}}^{t} \left( \tau - t_{0} \right) \, d \tau
\right\}
\boldsymbol{a}_{0}
\\[5pt]
&=
\boldsymbol{x}_{0}
+
\left( t - t_{0} \right) \boldsymbol{v}_{0}
+
\left\{
\dfrac{1}{2} \left( t^{2} - t_{0}^{2} \right)
-
t_{0} \left( t - t_{0} \right)
\right\}
\boldsymbol{a}_{0}
\\[5pt]
&=
\boldsymbol{x}_{0}
+
\left( t - t_{0} \right) \boldsymbol{v}_{0}
+
\dfrac{1}{2} \left( t - t_{0} \right)^{2}
\boldsymbol{a}_{0}
\end{aligned}
\end{align*}
となり，物体の等加速度運動の公式が導出される。